Вклад планируется открыть на 4 года первоначальный вклад составляет


Досрочный ЕГЭ по математике от 28 марта 2016

Елена Репина 2016-04-06 2017-03-28

1. Бегун пробежал метров за секунд. Найдите среднюю скорость бегуна. Ответ выразите в километрах в час.

Решение: + показать

Средняя скорость бегуна есть м/с.

м/см/скм/ч=км/ч.

Ответ: 

2. На графике показано изменение температуры в процессе разогрева двигателя легкового автомобиля. На горизонтальной оси отмечено время в минутах, прошедшее с момента запуска двигателя, на вертикальной оси – температура двигателя в градусах Цельсия. Определите по графику, до скольких градусов Цельсия двигатель нагрелся за первые минут с момента запуска.

Решение: + показать

Двигатель нагрелся до градусов Цельсия за первые минут.

Ответ: 

3. Найдите длину средней линии трапеции, изображенной на рисунке. Сторона каждой клетки равна см. Ответ выразите в сантиметрах.

Решение: + показать

Длина средней линии трапеции – есть полусумма длин оснований: , то есть

Ответ: 

4. На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна . Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна . Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение: + показать

Вероятность суммы двух несовместных событий – есть сумма вероятностей этих событий.

Искомая вероятность равна то есть

Ответ: 

5. Найдите корень уравнения

Решение: + показать

Ответ: 

6. У треугольника со сторонами и проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведённая к первой стороне, равна . Найдите длину высоты, проведенной ко второй стороне.

Решение: + показать

Пусть – высоты треугольника проведенные к сторонам равным и соответственно.

По условию найдем

С одной стороны с другой –

Поэтому

 Ответ: 

7. На рисунке изображён график  производной функции и шесть точек на оси абсцисс: В скольких из этих точек функция  возрастает?

Решение: + показать

Функция возрастает в четырех точках: так как в этих точках производная функции положительна, в отличие производной в остальных точках.

Ответ: 

8. Шар вписан в цилиндр объемом . Найдите объем шара.

Решение: + показать

 (1),

где – радиус основания цилиндра, – высота цилиндра.

При этом радиус шара – есть радиус основания цилиндра, высота цилиндра – диаметр шара, то есть

Поэтому  (1) можно переписать так:

Тогда

Ответ: 

8. Найдите значение выражения

Решение: + показать

Ответ: 

10. Скорость автомобиля, разгоняющегося с места старта по прямолинейному отрезку пути длиной км с постоянным ускорением км/ч, вычисляется по формуле . Определите наименьшее ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав  километра, приобрести скорость не менее км/ч. Ответ выразите в км/ч.

Решение: + показать

 Согласно условию

То есть

Подставляем известные данные, решаем получившееся неравенство:

Наименьшее значение из – это

Ответ: 

11. Первая труба заполняет бассейн за часов, а две трубы вместе ‐ за часов минут. За сколько часов заполняет бассейн одна вторая труба?

Решение: + показать

Работу принимаем за

Не забываем переводить минуты в часы – минут – часа.

Скорость работы первой трубы –

Скорость работы двух труб – или

Скорость работы двух труб складывается из скоростей работы каждой трубы. Поэтому скорость работы второй трубы – то есть

Итак, одна вторая труба заполнит бассейн за то есть за часов.

Ответ: 

12. Найдите точку максимума функции на промежутке

Решение: + показать

на  в точке .

При этом

При переходе через точку производная меняет знак с плюса на минус. Точка – точка максимума.

Ответ: 

 Часть С

13. а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение: + показать

a)

или

или  

б) Произведем  отбор корней уравнения из отрезка

Функция – возрастающая, поэтому

Итак, в отрезок  попала только точка

Ответ: 

а) ,

б) 

14. В правильной четырехугольной призме сторона основания равна а боковое ребро равно На ребрах и отмечены точки и соответственно, причем

а) Пусть – точка пересечения плоскости с ребром . Докажите, что  – квадрат.

б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью

Решение: + показать

Построим сечение призмы плоскостью

Пусть прямая плоскости пересекается с прямыми в точках  соответственно.

Прямая плоскости пересекается с в точке .

Прямая плоскости пересекается с в точке .

Прямая плоскости пересекается с в точке , с прямой –  в точке .

Наконец, прямая плоскости пересекается с в точке .

– сечение призмы плоскостью

a) Докажем, что – квадрат.

Во-первых, параллельна так как параллельные плоскости рассекаются третьей плоскостью () по параллельным прямым.

Во-вторых, Действительно, треугольники равны по катету и острому углу.

Итак, – параллелограмм. Осталось доказать, что и

Из треугольника по теореме Пифагора:

Из подобия треугольников , имеем:

Далее, пусть – проекция  на – проекция на

Имеем

Наконец, замечаем, что  для треугольника выполняется  Действительно, То есть по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник прямоугольный (  – прямой.)

Итак, мы показали, что четырехугольник – параллелограмм с равными сторонами и прямым углом, то есть  – квадрат.

б)

Площадь квадрата равна то есть

Несложно заметить, что – середина (из равенства треугольников ). Аналогично и – середина . Треугольники равны.

Для треугольника

Ответ: б)

15. Решите неравенство:

Решение: + показать

Решать будем методом замены множителей.

Последнее неравенство системы верно при любом значении .

Ответ: .

16. Точка – центр окружности, описанной около остроугольного треугольника , ‐ центр вписанной в него окружности, ‐ точка пересечения высот. Известно, что

а) Докажите, что точка лежит на окружности, описанной около треугольника .

б) Найдите угол , если

Решение: + показать

a) Очевидно, треугольник  равнобедренный ( равны как радиусы). Пусть

Согласно условию

Но углы – соответствующие друг другу центральный и вписанный углы, поэтому

Из треугольника

откуда

Итак, На сумму углов из треугольника остается  А сумма половин углов (то есть ) равна Тогда в треугольнике угол равен

Итак, а это означает, что точка попадает на окружность, описанную около треугольника

Что и требовалось доказать.

(подробнее, почему равенство указанных углов «укладывает» точку на окружность можно посмотреть здесь).

б) Из треугольника

Пусть – основание перпендикуляра, проведенного из к – основание перпендикуляра, проведенного из к – основание перпендикуляра, проведенного из к

Из треугольника  

Из треугольника  

В треугольнике

Итак, точка , так же как и точка , попадает на окружность, описанную около треугольника

Выясним, в каком порядке располагаются точки на окружности.

Заметим, что

Тогда откуда

Очевидно,

Наконец,  из треугольника  

Итак, точки расположены именно в том порядке, что указан на рисунке (точка – между и ).

Найдем градусную меру дуги .

Тогда так как – вписанный угол, опирающийся на дугу

Стало быть,  большая равна а именно на нее опирается вписанный угол что мы ищем. Потому

Ответ: б)

17. Вклад планируется открыть на четыре года. Первоначальный вклад составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года вклад увеличивается на % по сравнению с его размером в начале года, а, кроме того, в начале третьего и четвертого годов вклад ежегодно пополняется на млн рублей. Найдите наибольший размер первоначального вклада, при котором через четыре года вклад будет меньше млн рублей.

Решение: + показать

Пусть – целое число миллионов рублей (первоначальный вклад под % годовых).

Заметим, увеличение вклада на % по сравнению с его размером в начале года означает, что новая сумма вклада станет составлять % старого, то есть увеличение некоторой величины на % –  умножение этой величины на  коэффициент

На вкладе  в конце первого года:

млн. рублей.

На вкладе  в конце второго года:

млн. рублей.

На вкладе  на начало третьего года:

млн. рублей.

На вкладе  в конце третьего года:

млн. рублей.

На вкладе  на начало четвертого года:

млн. рублей.

На вкладе  в конце четвертого года:

млн. рублей.

Так как нас интересует наибольший размер первоначального вклада, при котором через четыре года вклад будет меньше млн. рублей, то найдем наибольшее натуральное из неравенства:

Откуда наибольшее натуральное – это

Ответ: .

18. Найдите все значения параметра при каждом из которых система уравнений

имеет ровно два различных решения.

Решение: + показать

Уравнение задает объединение прямой и гиперболы При условии  указанные линии «урезаются».

– семейство прямых, проходящих через точку

Рассмотрим, сколько раз пересекает прямая объединение синих линий (см. рис.), отвечающее уравнению в зависимости от

Случай нам не подходит, так как гипербола располагается в четвертях, и более одного решения мы никак не получим.

Сразу выделяем случай когда прямая проходит через точку  точку пересечения прямой и гиперболы Имеем два решения исходной системы.

Также стоит отметить случай прохождения прямой через точку , точку пересечения  гиперболы с прямой . В этом случае, при прямая пересечет гиперболу один раз и прямую один раз (в разных точках). Имеем два решения исходной системы.

При прямая дважды пересечет гиперболу и один раз прямую все  три точки пересечения различны. Случай не подходит.

При прямая дважды пересекается с гиперболой и один раз с прямой (все три точки различны). Случай не подходит.

Наконец, в случае  прямая один раз пересекается с гиперболой и один раз с прямой (точки различны). Имеем два решения исходной системы.

Нами рассмотрены все значения .

Итак,  при {} исходная система имеет два решения.

Ответ: {}.

Замечание: полезно посмотреть похожие задания с параметром 1 и 2.

19. Множество чисел назовем хорошим, если его можно разбить на два подмножества с одинаковой суммой чисел.

а) Является ли множество {} хорошим? б) Является ли множество {} хорошим? в) Сколько хороших четырехэлементных подмножеств у множества

{}?

Решение: + показать

а) Да, множество хорошее.

Замечаем, что всего во множестве чисел. Суммы все пар, таких как , , ,…,  одинаковы. Пар всего . Отправляем любые двадцать пять пар в одно множество, двадцать пять остальных – в другое. Получаем два подмножества с одинаковой суммой чисел.

б) Множество {} не является хорошим, так как   число больше суммы всех остальных чисел данного множества. Действительно,

в) Хорошие четырехэлементные подмножества множества

{} могут быть таковы:

1) сумма трех элементов его равна четвертому;

2) сумма двух элементов его равна сумме двух других.

Рассмотрим первый случай.

Может ли в подмножество попасть только одно четное число?

Нет. Так как в этом случае сумма тройки чисел, содержащей одно четное и два нечетных числа, четна. Тогда на роль четвертого элемента, равного сумме трех указанных нечего выбрать.

Могут ли в нужное подмножество четные числа вообще не попасть? Нет, так как, взяв даже имеем сумму

Стало быть, в нужное подмножество попадают оба четных числа.

Несложно подобрать подходящие варианты: {} и  {}.

Рассмотрим второй случай.

Может ли в подмножество попасть только одно четное число?

Нет, иначе одна сумма будет четна, вторая нечетна.

Могут ли в нужное подмножество четные числа вообще не попасть?

Да. Из {} можно выделить такие подмножества:

{}, {}, {}, {}, {}.

И только первое и четвёртое подмножества хорошие.

Наконец, может ли в нужное подмножество попасть оба четных числа? Да. Тогда либо и потребуют, чтобы сумма двух других элементов, как их сумма была бы (а такой вариант один – {}) либо в равных суммах ( – из ) на два больше То есть на роль и можно взять, соответственно, пары Получаем хорошие подмножества: {},{},{}.

Итак, всего мы выделили хороших подмножеств.

Ответ:

а) да;

б) нет;

в) .

Автор: egeMax |

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Печать страницы

egemaximum.ru

Досрочный ЕГЭ по математике 2016 условия и решения

Условия задач с ответами и решениями

  1. Бегун пробежал 400 метров за 45 секунд. Найдите среднюю скорость бегуна. Ответ выразите в километрах в час.
  2. На графике показано изменение температуры в процессе разогрева двигателя легкового автомобиля. На горизонтальной оси отмечено время в минутах, прошедшее с момента запуска двигателя, на вертикальной оси  -  температура двигателя в градусах Цельсия. Определите по графику, до скольких градусов Цельсия двигатель нагрелся за первые 8 минут с момента запуска.
  3. Найдите длину средней линии трапеции, изображенной на рисунке. Сторона каждой клетки равна 1 см. Ответ выразите в сантиметрах.
  4. На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,25. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,35. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем
  5. Найдите корень уравнения
  6. У треугольника со сторонами 12 и 15 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведённая к первой стороне, равна 10. Найдите длину высоты, проведенной ко второй стороне.
  7. На рисунке изображен график производной функции и шесть точек на оси абсцисс. В скольких из этих точек функция возрастает? (странная формулировка...)
  8. Шар вписан в цилиндр объемом 42. Найдите объем шара.

Часть 2

  1.  Найдите значение выражения
  2. Скорость автомобиля, разгоняющегося с места старта по прямолинейному отрезку пути длиной км с постоянным ускорением км/ч2, вычисляется по формуле . Определите наименьшее ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав 1,1 километра, приобрести скорость не менее 110 км/ч. Ответ выразите в км/ч2.
  3. Первая труба заполняет бассейн за 7 часов, а две трубы вместе ‐ за 5 часов 50 минут. За сколько часов заполняет бассейн одна вторая труба?
  4. Найдите точку максимума функции на промежутке .
  5. а) Решите уравнение ; б) Найдите корни этого уравнения на отрезке .
  6. В правильной четырехугольной призме сторона основания равна 6, а боковое ребро равно . На ребрах , и отмечены точки , и соответственно, причем . а) Пусть - точка пересечения плоскости с ребром . Докажите, что - квадрат. б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью .
  7. Решите неравенство
  8. Точка - центр окружность, описанной около остроугольного треугольника , - центр вписанной в него окружности, - точка пересечения высот. Известно, что угол равен сумме углов и . а) Докажите, что точка лежит на окружности, описанной около треугольника . б) Найдите угол , если угол равен 45o.
  9. Вклад планируется открыть на четыре года. Первоначальный вклад составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года вклад увеличивается на 10% по сравнению с его размером в начале года, а, кроме того, в начале третьего и четвертого годов вклад ежегодно пополняется на 3 млн рублей. Найдите наибольший размер первоначального вклада, при котором через четыре года вклад будет меньше 25 млн рублей.
  10. Найдите все значения параметра , при каждом из которых система уравнений имеет ровно два различных решения.
  11. Множество чисел назовем хорошим, если его можно разбить на два подмножества с одинаковой суммой чисел. а) Является ли множество {200; 201; 202; ...; 299} хорошим?

    б) Является ли множество {2; 4; 8; ...; } хорошим?

    в) Сколько хороших четырехэлементных подмножеств у множества {1; 2; 4; 5; 7; 9; 11}?

смотрите также  Досрочный ЕГЭ по математике 2015

Ответы

  1. 32
  2. 90
  3. 6
  4. 0,6
  5. -12
  6. 8
  7. 4
  8. 28
  9. 12
  10. 5500
  11. 35
  12. 0,5
  13. а) ; б)
  14. 55
  15. 175o
  16. 12 млн
  17. {}
  18. а) да б) да в) 8

www.itmathrepetitor.ru

ЕГЭ. Задача 17. Экономическая задача

Подготовка к единому государственному экзамену по математике. Видеоразборы и подборка экономических задач на банковские проценты и оптимизацию.

Видеоразборы задач

Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят $t^2$ тыс. рублей в конце года $t$ ($t = 1; 2; \ldots$). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счет в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счете будет увеличиваться в $(1 + r)$ раз. Пенсионный фонд хочет продать ценные бумаги в конце такого года, чтобы в конце двадцать пятого года сумма на его счете была наибольшей. Расчеты показали, что для этого ценные бумаги нужно продавать строго в конце двадцать первого года. При каких положительных значениях $r$ это возможно?

В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере S тыс рублей. Условия его возврата таковы:− каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года; − с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; − в июле 2017,2018 и 2019 долг остаётся равным S тыс. рублей; − выплаты в 2020 и 2021 годах равны по 360 тыс. рублей; − к июлю 2021 долг будет выплачен полностью.

Найдите общую сумму выплат за пять лет.

15-го января планируется взять кредит в банке на 1 млн рублей на 6 месяцев. Условия его возврата таковы:− 1-го числа каждого месяца долг возрастает на целое число $r$ процентов по сравнению с концом предыдущего месяца; − со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

− 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей

Найдите наибольшее значение $r$, при котором общая сумма выплат будет составлять менее 1,2 млн рублей.

  1. Вклад планируется открыть на четыре года. Первоначальный вклад составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года вклад увеличивается на 10% по сравнению с его размером в начале года, а, кроме этого, в начале третьего и четвертого годов вклад ежегодно пополняется на 2 млн рублей. Найдите наибольший размер первоначального вклада, при котором через четыре года вклад будет меньше 15 млн рублей. (ЕГЭ-2016)
  2. Вклад в размере 10 млн рублей планируется открыть на четыре года. В конце каждого года вклад увеличивается на 10% по сравнению с его размером в начале года, а, кроме этого, в начале третьего года и четвертого годов вклад ежегодно пополняется на одну и ту же фиксированную сумму, равную целому числу миллионов рублей. Найдите наименьший возможный размер такой суммы, при котором через четыре года вклад станет не меньше 30 млн рублей. (ЕГЭ-2016)
  3. В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на четыре года в размере $S$ млн рублей, где $S$ — целое число. Условия его возврата таковы:− каждый январь долг увеличивается на 15% по сравнению с концом предыдущего года;− с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

    − в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.

    Мецяц, год Июль 2016 Июль 2017 Июль 2018 Июль 2019 Июль 2020
    Долг (в млн рублей) $S$ $0,8 S$ $0,5 S$ $0,1 S$ 0
    Найдите наибольшее значение $S$, при котором общая сумма выплат будет меньше 50 млн рублей. (ЕГЭ-2016)
  4. В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере $S$ тыс. рублей. Условия его возврата таковы: − каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года; − с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; − в июле 2017,2018 и 2019 долг остается равным $S$ тыс. рублей; − выплаты в 2020 и 2021 годах равны по 625 тыс. рублей;

    − к июлю 2021 долг будет выплачен полностью. Найдите общую сумму выплат за пять лет. (ЕГЭ-2016)

  5. Вклад в размере 10 млн рублей планируется открыть на четыре года. В конце каждого года банк увеличивает вклад на 10% по сравнению с его размером в начале года. Кроме этого, в начале третьего и четвертого годов вкладчик ежегодно пополняет вклад на $х$ млн. рублей, где $х$ — целое число. Найдите наименьшее значение х, при котором банк за четыре года начислит на вклад больше 7 млн рублей. (ЕГЭ-2016)
  6. Вклад в размере 20 млн рублей планируется открыть на четыре года. В конце каждого года банк увеличивает вклад на 10% по сравнению с его размером в начале года. Кроме того, в начале третьего и четвёртого годов вкладчик ежегодно пополняет вклад на $х$ млн рублей, где $х$ — целое число. Найдите наибольшее значение $х$, при котором банк за четыре года начислит на вклад меньше 17 млн рублей. (ЕГЭ-2016)
  7. В июле 2016 года планируется взять кредит в банке в размере $S$ тыс. рублей, где $S$ — натуральное число, на 3 года. Условия его возврата таковы − каждый январь долг увеличивается на 15% по сравнению с концом предыдущего года; − с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

    − в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.

    Мецяц, год Июль 2016 Июль 2017 Июль 2018 Июль 2019
    Долг (в тыс. рублей) $S$ $0,7 S$ $0,4 S$ 0
    Найдите наименьшее значение S, при котором каждая из выплат будет составлять целое число тысяч рублей. (ЕГЭ-2016)
  8. Владимир является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно $t^2$ часов в неделю, то за эту неделю они производят $2t$ единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно $t^2$ часов в неделю, то за эту неделю они производят $5t$ единиц товара. За каждый час работы (на каждом из заводов) Владимир платит рабочему 500 рублей. Владимиру нужно каждую неделю производить 580 единиц товара. Какую наименьшую сумму придется тратить еженедельно на оплату труда рабочих? (ЕГЭ-2015)
  9. Григорий является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно $t^2$ часов в неделю, то за эту неделю они производят $3t$ единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно $t^2$ часов в неделю, то за эту неделю они производят $4t$ единиц товара. За каждый час работы (на каждом из заводов) Григорий платит рабочему 500 рублей. Григорий готов выделять 5 000 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах? (ЕГЭ-2015)
  10. 15-го января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Условия его возврата таковы: — 1-го числа каждого месяца долг возрастёт на $r$% по сравнению с концом предыдущего месяца; — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; — 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

    Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита 30% больше суммы, взятой в кредит. Найдите $r$. (ЕГЭ-2015)

  11. 31 декабря 2013 года Сергей взял в банке 9 930 000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк определённую сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными ежегодными платежами?
  12. Cергей взял кредит в банке на срок 9 месяцев. В конце каждого месяца общая сумма оставшегося долга увеличивается на 12%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Сергеем. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину. Сколько процентов от суммы кредита составила общая сумма, уплаченная Сергеем банку (сверх кредита)?
  13. Савелий хочет взять в кредит 1,4 млн рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка процента 10% годовых. На какое минимальное количество лет может Савелий взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 330 тысяч рублей?
  14. Гражданин Петров по случаю рождения сына открыл 1 сентября 2008 года в банке счёт, на который он ежегодно кладет 1000 рублей. По условиям вклада банк ежегодно начисляет 20% на сумму, находящуюся на счёте. Через 6 лет у гражданина Петрова родилась дочь, и 1 сентября 2014 года он открыл в другом банке счёт, на который ежегодно кладёт по 2200 рублей, а банк начисляет 44% в год. В каком году после очередного пополнения суммы вкладов сравняются, если деньги со счетов не снимают?
  15. Фермер получил кредит в банке под определенный процент годовых. Через год фермер в счет погашения кредита вернул в банк $\dfrac{3}{4}$ от всей суммы, которую он должен был банку к этому времени, а еще через год в счет полного погашения кредита он внес в банк сумму на 21% превышающую величину полученного кредита. Каков процент годовых по кредиту в данном банке?
  16. Игорь купил акцию за 8 000. В конце каждого года стоимость акции увеличивается на 1 000. В любой момент Игорь может продать акцию и положить все деньги в банк на счет. В конце каждого года сумма на счету в банке увеличивается на 8%. В течении какого года Игорю нужно положить деньги в банк, чтобы через 25 лет после покупки акции сумма на счету в банке была максимальна?
  17. По вкладу «А» банк в течение трёх лет в конце каждого года увеличивает на 20 % сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» — увеличивает на 21 % в течение каждого из первых двух лет. Найдите наименьшее целое число процентов за третий год по вкладу «Б», при котором за все три года этот вклад всё ещё останется выгоднее вклада «А».
  18. По бизнес-плану предполагается вложить в четырёхлетний проект целое число миллионов рублей. По итогам каждого года планируется прирост средств вкладчика на 20% по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начисления процентов нужны дополнительные вложения: по 20 миллионов рублей в первый и второй годы, а также по 10 миллионов в третий и четвёртый года. Найдите наименьший размер первоначальных вложений, при котором они за два года станут больше 125 миллионов, а за четыре года станут больше 200 миллионов рублей.
  19. В двух областях есть по 160 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,1 кг алюминия или 0,3 кг никеля. Во второй области для добычи $x$ кг алюминия в день требуется $x^2$ человеко-часов труда, а для добычи $y$ кг никеля в день требуется $y^2$ человеко-часов труда. Для нужд промышленности можно использовать или алюминий, или никель, причём 1 кг алюминия можно заменить 1 кг никеля. Какую наибольшую массу металлов можно добыть в двух областях суммарно для нужд промышленности?
  20. Ювелирному мастеру поступил на обработку алмаз с дефектом. Этот дефект можно устранить, разделив алмаз на три части, суммарный вес которых после огранки составит 50 карат. При этом вес меньшего из полученных бриллиантов будет не меньше 5 карат, а вес большего из них -- не более 30 карат (возможность равенства бриллиантов по весу на исключается). Известно, что стоимость бриллианта пропорциональна квадрату его веса. Какой вес должен придать мастер каждому из трех бриллиантов, чтобы их суммарная стоимость была максимальной?
  21. Малое предприятие выпускает изделия двух типов. Для изготовления изделия первого типа требуется 5 часов работы станка А и 3 часа работы станка В, а для изготовления изделия второго типа требуется 2 часа работы станка А и 4 часа работы станка В (станки могут работать в любой последовательности). По техническим причинам станок А может работать не более 150 часов в месяц, станок В – не более 132 часов в месяц. Каждое изделие первого типа приносит предприятию 300 денежных единиц прибыли, а каждое изделие второго типа – 200 денежных единиц прибыли. Найдите наибольшую возможную ежемесячную прибыль предприятия и определите, сколько изделий первого типа и сколько изделий второго типа следует выпускать для получения этой прибыли.
  22. Вклад планируется открыть на четыре года. Первоначальный вклад составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года вклад увеличивается на 10% по сравнению с его размером в начале года, а, кроме этого, в начале третьего и четвёртого годов вклад ежегодно пополняется на 2 млн рублей. Найдите наибольший размер первоначального вклада, при котором через четыре года вклад будет меньше 15 млн рублей.
  23. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 28 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы: — каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; — в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года. Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платёж составит 9 млн рублей?
  24. Алексей приобрёл ценную бумагу за 7 тыс. рублей. Цена бумаги каждый год возрастает на 2 тыс. рублей. В любой момент Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счёт. Каждый год сумма на счёте будет увеличиваться на 10 %. В течение какого года после покупки Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через тридцать лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счёте была наибольшей?
  25. Савелий хочет взять в кредит 1,4 млн рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка процента 10% годовых. На какое минимальное количество лет может Савелий взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 330 тысяч рублей?
  26. 31 декабря 2014 года Пётр взял в банке некоторую сумму в кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты кредита следующая — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на а%), затем Пётр переводит очередной транш. Если он будет платить каждый год по 2 592 000 рублей, то выплатит долг за 4 года. Если по 4 392 000 рублей, то за 2 года. Под какой процент Пётр взял деньги в банке?
  27. Зависимость объема $Q$ (в шт) купленного у фирмы товара от цены $Р$ (в руб. за шт.) выражается формулой $Q=15000-P$, $1000\leqslant P\leqslant 15000$. Доход от продажи товара составляет $PQ$ рублей. Затраты на производство $Q$ единиц товара составляют $3000Q+5000000$ рублей. Прибыль равна разности дохода от продажи товара и затрат на его производство. Стремясь привлечь внимание покупателей, фирма уменьшила цену продукции на 20%, однако ее прибыль не изменилась. На сколько процентов следует увеличить сниженную цену, чтобы добиться наибольшей прибыли?
  28. Строительство нового завода стоит 78 млн рублей. Затраты на производство х тыс. ед. продукции на таком заводе равны $0,5х^2+2x+6$ млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене р тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит $px - (0,5x^2+2x+6)$. Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении р строительство завода окупится не более, чем за 3 года?
  29. В двух областях работают по 160 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,1 кг алюминия или 0,3 кг никеля. Во второй области для добычи x кг алюминия в день требуется $x^2$ человеко-часов труда, а для добычи у кг никеля в день требуется $y^2$ человеко-часов труда. Для нужд промышленности можно использовать или алюминий, или никель, причём 1 кг алюминия можно заменить 1 кг никеля. Какую наибольшую массу металлов можно добыть в двух областях суммарно за сутки для нужд промышленности?
  30. В двух шахтах добывают алюминий и никель. В первой шахте имеется 60 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 2 кг алюминия или 3 кг никеля. Во второй шахте имеется 260 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 3 кг алюминия или 2 кг никеля. Обе шахты поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом шахты договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?
  31. Предприниматель купил здание и собирается открыть в нём отель. В отеле могут быть стандартные номера площадью 27 квадратных метров и номера «люкс» площадью 45 квадратных метров. Общая площадь, которую можно отвести под номера, составляет 981 квадратный метр. Предприниматель может поделить эту площадь между номерами различных типов, как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 2000 рублей в сутки, а номер «люкс» — 4000 рублей в сутки. Какую наибольшую сумму денег сможет заработать в сутки на своём отеле предприниматель?
  32. У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 500 ц/га, а на втором — 300 ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором – 500 ц/га. Фермер может продать картофель по цене 5000 руб. за центнер, а свёклу — по цене 8000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?
  33. Григорий является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно $t^2$ часов в неделю, то за эту неделю они производят 3t единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно $t^2$ часов в неделю, то за эту неделю они производят 4t единиц товара. За каждый час работы (на каждом из заводов) Григорий платит рабочему 500 рублей. Григорий готов выделять 5 000 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?
  34. В 1-е классы поступает 45 человек: 20 мальчиков и 25 девочек. Их распределили по двум классам: в одном должно получиться 22 человека, а в другом ― 23. После распределения посчитали процент девочек в каждом классе и полученные числа сложили. Каким должно быть распределение по классам, чтобы полученная сумма была наибольшей?
  35. У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 400 ц/га, а на втором — 300 ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором — 400 ц/га. Фермер может продавать картофель по цене 10 000 руб. за центнер, а свёклу — по цене 11 000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?
  36. В двух областях есть по 160 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,1 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи x кг алюминия в день требуется $x^2$ человеко-часов труда, а для добычи у кг никеля в день требуется $у^2$ человеко-часов труда. Для нужд промышленности можно использовать или алюминий, или никель, причём 1 кг алюминия можно заменить 1 кг никеля. Какую наибольшую массу металлов можно за сутки суммарно добыть в двух областях?
  37. На каждом из двух заводов работает по 100 человек. На первом заводе один рабочий изготавливает за смену 3 детали А или 1 деталь В. На втором заводе для изготовления t деталей (и А, и В) требуется $t^2$ человеко-смен. Оба завода поставляют детали на комбинат, где собирают изделие, причем для его изготовления нужна 1 деталь А и 3 детали В. При этом заводы договариваются между собой изготавливать детали так, чтобы можно было собрать наибольшее количество изделий. Сколько изделий при таких условиях может собрать комбинат за смену?
  38. Григорий является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно $t^2$ часов в неделю, то за эту неделю они производят 3t единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно $t^2$ часов в неделю, то за эту неделю они производят 4t единиц товара. За каждый час работы (на каждом из заводов) Григорий платит рабочему 500 рублей. Григорий готов выделять 5 000 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?
  39. Производство x тыс. единиц продукции обходится в $q = 0,5x^2 + x + 7$ млн рублей в год. При цене p тыс. рублей за единицу годовая прибыль от продажи этой продукции (в млн рублей) составляет $px - q$. При каком наименьшем значении p через три года суммарная прибыль составит не менее 75 млн рублей?
  40. Первичная информация разделяется по серверам №1 и №2 и обрабатывается на них. С сервера №1 при объёме $t^2$ Гбайт входящей в него информации выходит $20t$ Гбайт, а с сервера №2 при объёме $t^2$ Гбайт входящей в него информации выходит $21t$ Гбайт обработанной информации; $25 < t < 55$. Каков наибольший общий объём выходящей информации при общем объёме входящей информации в 3364 Гбайт?

trushinbv.ru

задание 17 банк 2016

За­да­ния 17 (С5) ЕГЭ 2016

1. Вклад пла­ни­ру­ет­ся от­крыть на че­ты­ре года. Пер­во­на­чаль­ный вклад со­став­ля­ет целое число мил­ли­о­нов руб­лей. В конце каж­до­го года вклад уве­ли­чи­ва­ет­ся на 10% по срав­не­нию с его раз­ме­ром в на­ча­ле года, а, кроме этого, в на­ча­ле тре­тье­го и четвёртого годов вклад еже­год­но по­пол­ня­ет­ся на 3 млн руб­лей. Най­ди­те наи­боль­ший раз­мер пер­во­на­чаль­но­го вкла­да, при ко­то­ром через че­ты­ре года вклад будет мень­ше 25 млн руб­лей.

Ответ: 12 млн руб­лей.

2. 15-го ян­ва­ря пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на 1 млн руб­лей на 6 ме­ся­цев. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

− 1-го числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­рас­та­ет на целое число r про­цен­тов по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

− со 2-го по 14-е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

− 15-го числа каж­до­го ме­ся­ца долг дол­жен со­став­лять не­ко­то­рую сумму в со­от­вет­ствии со сле­ду­ю­щей таб­ли­цей 

Дата

15.01

15.02

15.03

15.04

15.05

15.06

15.07

Долг (в млн руб­лей)

1

0,6

0,4

0,3

0,2

0,1

0

 Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние r, при ко­то­ром общая сумма вы­плат будет со­став­лять менее 1,2 млн руб­лей.

Ответ: r = 7%.

3. В июле 2016 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на три года в раз­ме­ре S млн руб­лей, где S — целое число. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

− каж­дый ян­варь долг уве­ли­чи­ва­ет­ся на 25% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

− с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить одним пла­те­жом часть долга;

− в июле каж­до­го года долг дол­жен со­став­лять часть кре­ди­та в со­от­вет­ствии со сле­ду­ю­щей таб­ли­цей

 Месяц и год

Июль 2016

Июль 2017

Июль 2018

Июль 2019

Долг

(в млн руб­лей)

S

0,7S

0,4S

0

 Най­ди­те наи­мень­шее S, при ко­то­ром каж­дая из вы­плат будет боль­ше 5 млн руб­лей.

Ответ: 11.

4. В июле 2016 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на пять лет в раз­ме­ре S тыс руб­лей. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

− каж­дый ян­варь долг воз­рас­та­ет на 20% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

− с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

− в июле 2017,2018 и 2019 долг остаётся рав­ным S тыс. руб­лей;

− вы­пла­ты в 2020 и 2021 годах равны по 360 тыс. руб­лей;

− к июлю 2021 долг будет вы­пла­чен пол­но­стью.

Най­ди­те общую сумму вы­плат за пять лет.

Ответ: 1050 тыс. руб­лей.

5. Вклад пла­ни­ру­ет­ся от­крыть на че­ты­ре года. Пер­во­на­чаль­ный вклад со­став­ля­ет целое число мил­ли­о­нов руб­лей. В конце каж­до­го года банк уве­ли­чи­ва­ет вклад на 10% по срав­не­нию с его раз­ме­ром в на­ча­ле года. Кроме этого, в на­ча­ле тре­тье­го и четвёртого годов вклад­чик еже­год­но по­пол­ня­ет вклад на 3 млн руб­лей. Най­ди­те наи­мень­ший раз­мер пер­во­на­чаль­но­го вкла­да, при ко­то­ром банк за че­ты­ре года на­чис­лит на вклад боль­ше 5 млн руб­лей.

Ответ: 9 млн руб­лей.

6. В июле 2016 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на три года в раз­ме­ре S млн руб­лей, где S — целое число. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

— каж­дый ян­варь долг уве­ли­чи­ва­ет­ся на 25% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

— с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить одним пла­те­жом часть долга;

— в июле каж­до­го года долг дол­жен со­став­лять часть кре­ди­та в со­от­вет­ствии со сле­ду­ю­щей таб­ли­цей.

Месяц и год

Июль 2016

Июль 2017

Июль 2018

Июль 2019

Долг(в млн руб­лей)

S

0,7S

0,4S

0

Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние S, при ко­то­ром раз­ни­ца между наи­боль­шей и наи­мень­шей вы­пла­та­ми будет мень­ше 1 млн руб­лей.

Ответ: 13.

7. Вклад в раз­ме­ре 10 млн руб­лей пла­ни­ру­ет­ся от­крыть на че­ты­ре года. В конце каж­до­го года банк уве­ли­чи­ва­ет вклад на 10% по срав­не­нию с его раз­ме­ром в на­ча­ле года. Кроме этого, в на­ча­ле тре­тье­го и четвёртого годов вклад­чик еже­год­но по­пол­ня­ет вклад на х млн руб­лей, где х — целое число. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние х, при ко­то­ром банк за че­ты­ре года на­чис­лит на вклад боль­ше 7 млн руб­лей.

Ответ: 8.

8. В июле 2016 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке в раз­ме­ре S тыс. руб­лей, где S — на­ту­раль­ное число, на 3 года. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы

− каж­дый ян­варь долг уве­ли­чи­ва­ет­ся на 15% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

− с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить одним пла­те­жом часть долга;

− в июле каж­до­го года долг дол­жен со­став­лять часть кре­ди­та в со­от­вет­ствии со сле­ду­ю­щей таб­ли­цей.

 Месяц и год

Июль 2016

Июль 2017

Июль 2018

Июль 2019

Долг(в тыс. руб­лей)

S

0,7S

0,4S

0

 Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние S, при ко­то­ром каж­дая из вы­плат будет со­став­лять целое число тысяч руб­лей.

Ответ: 200.

www.dentalce.ru

Вклад планируется открыть на четыре года Первоначальный вклад составляет

Вклад планируется открыть на четыре года. Как решать задание 19 на ЕГЭ 2017 по математике https://fr.pinterest.com/pin/489766528207783042/ Помощь Математика с решением задач на экзамене онлайн https://de.pinterest.com/pin/489766528207787742/ Множество чисел назовём хорошим, если его можно разбить на два подмножества с одинаковым произведением чисел. Первоначальный вклад составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года вклад увеличивается на 10% по сравнению с его размером в начале года, а, кроме того, в начале третьего и четвертого годов вклад ежегодно пополняется на 3 млн рублей. Найдите наименьший размер первоначального вклада, при котором через четыре года вклад будет больше 20 млн рублей. Пусть n – целое число миллионов рублей (первоначальный вклад под 10% годовых).Заметим, увеличение вклада на 10% по сравнению с его размером в начале года означает, что новая сумма вклада станет составлять 110% старого, то есть увеличение некоторой величины на 10% – умножение этой величины на коэффициент 1,1. Так как нас интересует наибольший размер первоначального вклада, при котором через четыре года вклад будет больше 20 млн. рублей, то найдем наименьшее натуральное n из неравенства. Откуда наименьшее натуральное n – это 9. Если вам (вашему ребенку) предложат либо сдавать ЕГЭ по математике через мобильник, либо готовиться с репетитором, что вы выберете? Задание 19 (профильный уровень)Текстовые задачи. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 6 млн рублей на некоторый срок. Условия его возврата таковы:- каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.На какой минимальный срок следует брать кредит, чтобы наибольший годовой платеж по кредиту не превысил 1,8 млн рублей? Решение и Ответ: 10.

Задание 19 (ЕГЭ 2017) Множество чисел назовем хорошим, если его можно разбить на два подмножества с одинаковой суммой чисел. Скорость автомобиля, разгоняющегося с места старта по прямолинейному отрезку пути длиной l км с постоянным ускорением a км/ч^2, вычисляется по формуле V. Определите наименьшее ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав 1,1 километра, приобрести скорость не менее 110 км/ч. Ответ выразите в км/ч^2. На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,25. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,35. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем. Досрочный ЕГЭ по математике 2017 РАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА-КАК РЕШАТЬ. ЧЕГО ЖДАТЬ ОТ ЕГЭ 2017? 4.2. Рациональные неравенства. Квадратные неравенства и дальнейшее применение метода интервалов. Как решать рациональные неравенства. линейные неравенства с одной переменной .wmv. КАК РЕШАТЬ ЭКОНОМИЧЕСКУЮ ЗАДАЧУ?#2 ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ 2017. 0.0. Описание канала. Решение задачи №546 на Vipreshebnik.ru. Задание №17 ЕГЭ 2017 по математике #13. Дробно-рациональные неравенства. Метод интервалов. 4.1. Рациональные неравенства. Метод интервалов и метод замены множителей. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень. Виды экономических задач и способы их решения. Демо ЕГЭ 2017 по математике, задание 17 #29. Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет. Задание 17 ЕГЭ 2017 по математике #16.

www.travelbook.tv


Смотрите также